Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，O是坐標原點，直線AB交x軸于點A（﹣4，0），交y軸于點B，拋物線y=ax2+2ax+3（a≠0）經過A，B兩點．P是線段AO上的一動點，過點P作PC⊥x軸交直線AB于點C，交拋物線于點D．

（1）求a及AB的長．

（2）連結PB，若tan∠ABP=，求點P的坐標．

（3）連結BD，以BD為邊作正方形BDEF，是否存在點P使點E恰好落在拋物線的對稱軸上？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

（4）連結OC，若S△BDC：S△OBC=1：2，將線段BD繞點D按順時針方向旋轉，得到DB′．則在旋轉的過程中，當點A，B到直線DB′的距離和最大時，請直接寫出點B′的坐標．

Answer 1

【答案】（1）a=﹣，AB的長為5；（2）點P的坐標（－1.5，0）；（3）E恰好落在拋物線的對稱軸上情況存在，點P的坐標為（，0）或（﹣4，0）；（4）當點A，B到直線DB′的距離和最大時點B′的坐標為（﹣）．

【解析】

（1）把點A（﹣4，0）代入拋物線y=ax2+2ax+3方程即可求解；

（2）如圖，連接BP，作AH⊥PB于H，設點P的坐標為（x，0）．則OP=﹣x，AP=4+x，BP=．可證明△APH∽△BPO，由相似三角形的對應邊成比例，列方程并求解即可得到結論；

（3）如圖所示，正方形DBFE的E點在拋物線的對稱軸上，證明Rt△BHD≌Rt△END（AAS），用EN=BH即可求解；

（4）利用△BDC和△OBC是等高不等底的兩個三角形，求出CDOB，求出D點坐標（m，），把點D的坐標代入二次函數方程yx2x+3可以求出D點坐標為：D（﹣2，3），而B（0，3）則BD∥x軸；在Rt△B'MD中，B'D=BD=2，tan∠B'DP，則：B'M，DM，即可求解．

（1）把點A（﹣4，0）代入拋物線y=ax2+2ax+3方程解得：a，二次函數的表達式為：yx2x+3，則B坐標為（0，3）．

∵OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5，則二次函數表達式為：yx2x+3，對稱軸為x=﹣1．

答：a，AB的長為5．

（2）如圖，連接BP，作AH⊥PB于H．在Rt△ABH中，AB=5，tan∠ABP，可得：AH，BH=2，設點P的坐標為（x，0），則OP=﹣x，AP=4+x，BP==．

∵∠APH=∠BPO，∠AHP=∠POB=90°，∴△APH∽△BPO，∴，∴，整理得：4x2+72x+99=0，∴（2x+3）（2x+33）=0，解得：x=－1.5，或x=－16.5（舍去），∴點P的坐標為（－1.5，0）．

（3）如圖所示，正方形DBFE的E點在拋物線的對稱軸上，從E點作EN⊥PD，作DH⊥y軸，則Rt△BHD≌Rt△END（AAS），∴EN=BH，設P點坐標為（a，0），則D、E點的坐標分別為（a，a2a+3）、（﹣1，y），BH=3﹣（a2a+3）=EN=﹣1﹣a，解得：x，x=﹣4．

答：E恰好落在拋物線的對稱軸上情況存在，點P的坐標為（，0）或（﹣4，0）．

（4）當BD旋轉到如圖DB'的位置時，點A，B到直線DB'的距離和最大，此時AB⊥B'D，過點B'向PD和x軸作垂線，即B'M⊥DP，B'N⊥x軸，由A、B兩點坐標可得AB的直線方程為：yx+3，則tan∠BAO，設P點坐標為（m，0），則C（m，m+3）．

∵△BDC和△OBC是等高不等底的兩個三角形，而1：2若S△BDC：S△OBC=1：2，∴CDOB，則D點y坐標=C點y坐標，即：D（m，），把點D的坐標（m，）代入二次函數方程yx2x+3，解得：m=﹣2，把m值代入，即D點坐標為：D（﹣2，3），P（﹣2，0）．

∵B（0，3）則BD∥x軸，∴BD⊥DC．

∵BD⊥DC，AB⊥B'D，DP⊥AP，∴∠B'DP=∠BAO，∴tan∠B'DP=tan∠BAO．在Rt△B'MD中，B'D=BD=2，tan∠B'DP，則：B'M，DM，則：B'的橫坐標為=xP﹣B'M=﹣2，B'的縱坐標為=yD﹣DM=3．

答：當點A，B到直線DB'的距離和最大時點B'的坐標為（）．