Question

【題目】如圖，已知拋物線y=x2+4x+3交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，0）．

（1）求拋物線的對(duì)稱軸及點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）在平面直角坐標(biāo)系xoy中是否存在點(diǎn)P，與A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)平行四邊形？若存在，請(qǐng)寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）連接CA與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)D，在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得直線CM把四邊形DEOC分成面積相等的兩部分？若存在，請(qǐng)求出直線CM的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）對(duì)稱軸x=﹣=﹣2；點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0）

（2）滿足條件的點(diǎn)P有3個(gè)，分別為（﹣2，3），（2，3），（﹣4，﹣3）；

（3）存在；直線CM的解析式為y=x+3．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸為x=﹣，求得拋物線的對(duì)稱軸，因?yàn)楹瘮?shù)與X軸的交點(diǎn)是y=0，列方程即可求得；

（2）分別以AC，AB為對(duì)角線各可求得一點(diǎn)，再以AC，AB為邊求得一點(diǎn)；

（3）首先可求得梯形DEOC的面積，根據(jù)題意：在OE上找點(diǎn)F，使OF=，此時(shí)S△COF=××3=2，直線CF把四邊形DEOC分成面積相等的兩部分，交拋物線于點(diǎn)M，設(shè)直線CM的解析式為y=kx+3，它經(jīng)過點(diǎn)F（﹣，0），則﹣k+3=0，解之，得k=．∴直線CM的解析式為y=x+3．

試題解析：（1）①對(duì)稱軸x=﹣=﹣2；

②當(dāng)y=0時(shí)，有x2+4x+3=0，解之，得x1=﹣1，x2=﹣3，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0）．

（2）滿足條件的點(diǎn)P有3個(gè)，分別為（﹣2，3），（2，3），（﹣4，﹣3）．

（3）存在．

當(dāng)x=0時(shí)，y=x2+4x+3=3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），∵DE∥y軸，AO=3，EO=2，AE=1，CO=3，

∴△AED∽△AOC，∴即，∴DE=1．∴S梯形DEOC=（1+3）×2=4，

在OE上找點(diǎn)F，使OF=，此時(shí)S△COF=××3=2，直線CF把四邊形DEOC分成面積相等的兩部分，交拋物線于點(diǎn)M．設(shè)直線CM的解析式為y=kx+3，它經(jīng)過點(diǎn)F（﹣，0）．

則﹣k+3=0，解之，得k=，∴直線CM的解析式為y=x+3．