Question

如圖．矩形ABCD的對角線相交于點O．DE∥AC，CE∥BD．
（1）求證：四邊形OCED是菱形；
（2）若∠ACB=30°，菱形OCED的而積為，求AC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）熟記菱形的判定定理，本題可用一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．
（2）因為∠ACB=30°可證明菱形的一條對角線和邊長相等，可證明和對角線構成等邊三角形，然后作輔助線，根據菱形的面積已知可求解．
解答：（1）證明：∵DE∥OC，CE∥OD，
∴四邊形OCED是平行四邊形．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AO=OC=BO=OD．
∴四邊形OCED是菱形；

（2）解：∵∠ACB=30°，
∴∠DCO=90°-30°=60°．
又∵OD=OC，
∴△OCD是等邊三角形．
過D作DF⊥OC于F，則CF=OC，設CF=x，則OC=2x，AC=4x．
在Rt△DFC中，tan60°=，
∴DF=x．
∴OC•DF=8．
∴x=2．
∴AC=4×2=8．
點評：本題考查了矩形的性質，對角線相等且互相平分，菱形的判定和性質，以及解直角三角形等知識點．