Question

如圖，∠A的頂點為A（0，3），兩邊分別經過點B（4，0）、C（0，-2）．AD平分∠A并與x軸相交于點D，連接CD．
（1）求證：BD=CD；
（2）求tan∠ACD的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由A（0，3），B（4，0），C（0，-2），即可求得AB的值，即可求得AB=AC，又由∠BAD=∠BAC，AD=AD，易證：△ABD≌△ACD，則根據全等三角形的性質即可證得BD=CD；
（2）由△ABD≌△ACD，可證得∠ACD=∠ABD，由三角函數的性質，即可求得tan∠ACD的值．
解答：（1）證法一：∵A（0，3），B（4，0），C（0，-2），
∴AB==5，AC=5，
∴AB=AC．
又∵∠BAD=∠BAC，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD，
∴BD=CD．

證法二：過點D作DE⊥AB于E．
∵AD平分∠BAC，
∴DO=DE，
設DO=DE=x，
∵∠ABO=∠ABO，
∴Rt△BED∽Rt△BOA．
∴．
∵A（0，3），B（4，0），
∴AB==5，
∴，
解得：x=，即DO=，
從而BD=4-=．
在Rt△BOD中，CD==，
∴BD=CD．

證法三：∵A（0，3），B（4，0），C（0，-2），
∴AB==5，AC=5，
過點D作DE⊥AB于E．
∵AD平分∠BAC，
∴DO=DE，
∴EB=AB-AE=5-3=2=OC，
∴Rt△BED≌Rt△COD，
∴BD=CD．

證法四：連接CB，延長AD交CB于E．
∵A（0，3），B（4，0），C（0，-2），
∴AB==5，AC=5，
∴AB=AC．
又∵AE平分∠BAC，
∴AE垂直平分CB，
∴BD=CD．

（2）解法一：∵△ABD≌△ACD，
∴∠ACD=∠ABD，
∴tan∠ACD=tan∠ABD=tan∠ABO==．

解法二：設點D（x，0），則BD=CD=4-x，
在Rt△COD中，x²+2²=（4-x）²，
解得：x=．
∴D（，0）．
∴tan∠ACD=tan∠OCD=．
點評：此題考查了勾股定理，相似三角形的判定與性質，三角函數等知識．此題難度適中，解題時要注意數形結合思想的應用．