Question

如圖，拋物線的頂點為A（2，1），且經過原點O，與x軸的另一個交點為B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線上求點M，使△MOB的面積是△AOB面積的3倍；
（3）在拋物線的對稱軸上一點C，在拋物線上是否存在點P，使以O、B、P、C為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出P點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設出拋物線的頂點式，代入原點坐標即可求出答案；
（2）由△AOB和所求△MOB同底不等高，得出△MOB的高是△AOB高的3倍，可知拋物線上點M的縱坐標，因此建立方程解答即可；
（3）由平行四邊形的判定，對邊平行且相等，進一步利用對稱性即可解答．

解答：解：（1）由題意，可設拋物線的解析式為y=a（x-2）²+1，
∵拋物線過原點，
∴a（0-2）²+1=0，
a=-

1

4

；
∴拋物線的解析式為y=-

1

4

（x-2）²+1=-

1

4

x²+x；

（2）△AOB和所求△MOB同底不等高，且S_△MOB=3S_△AOB，
∴△MOB的高是△AOB高的3倍，即M點的縱坐標是-3，
∴-3=-

1

4

x²+x，
即x²-4x-12=0，
解得x₁=6，x₂=-2；
∴滿足條件的點有兩個：M₁=（6，-3），M₂=（-2，-3）；

（3）存在；
由OB=CP=4，P的橫坐標為6或-2，代入拋物線解析式得y=-

1

4

x²+x=-3，
P（6，-3）或（-2，-3），
當點C與點A重合時，點A關于x軸的對稱點P（2，-1）也為所求，
因此存在，點P的坐標為P₁（6，-3），P₂（-2，-3），P₃（2，-1）．

點評：此題考查待定系數法求函數解析式，二次函數的對稱性，三角形的面積以及平行四邊形判定的運用，是一道綜合性很強的題目．