Question

如圖，拋物線的頂點為P（1，0），一條直線與拋物線相交于A（2，1），B（-

1

2

，m）兩點．
（1）求拋物線和直線AB的解析式；
（2）若M為線段AB上的動點，過M作MN∥y軸，交拋物線于點N，連接NP、AP，試探究四邊形MNPA能否為梯形？若能，求出此點M的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）可先根據P點的坐標，用頂點式二次函數通式設出拋物線的解析式，然后將A點的坐標代入拋物線中，即可求出二次函數的解析式，進而可求得B點的坐標．然后根據A、B兩點的坐標求出直線AB的解析式．
（2）可假設存在這樣的點M，若四邊形MNPA為梯形，那么只有一種可能即NP∥MA，可通過構建相似三角形來求出N點的坐標．由于N點在拋物線上，因此可根據拋物線的解析式設出N點的坐標，假設直線AB與x軸的交點為R（R的坐標可通過直線AB的解析式求得），過A作AS⊥x軸于S，可通過證三角形NPQ和ARS相似來得出關于NQ，AS，QP，SR的比例關系式，據此可求出N點的橫坐標，然后將N點的橫坐標代入直線AB的解析式中即可求出M的坐標．

解答：解：（1）由題意，可設拋物線的解析式為y=a（x-1）²．
∴a（2-1）²=1，
∴a=1
∴拋物線的解析式為y=x²-2x+1．（1分）
當x=-

1

2

時，m=（-

1

2

）²-2×（-

1

2

）+1=

9

4

，
設直線AB的解析式為y=kx+b
∴

- 1 2 k+b= 9 4 2k+b=1

，
解得

k=- 1 2 b=2

．
∴直線AB的解析式為y=-

1

2

x+2．

（2）假設符合條件的點M存在．
由題意可知，MN不平行于AP，
∴梯形的兩底只能是NP、MA．
設AB與x軸相交于點R，MN的延長線與x軸相交于點Q，作AS⊥x軸于點S，
由y=-

1

2

x+2知點R的坐標為（4，0）．
∵NP∥MA
∴∠NPQ=∠ARS，
∵∠NQP=∠ASR=90°
∴Rt△NPQ∽Rt△ARS
∴

NQ

AS

=

QP

SR

設N點的坐標為（x，x²-2x+1），
則有

x2-2x+1

1

=

1-x

2

，
解得x=

1

2

，x=1（舍去）．
當x=

1

2

時，y=-

1

2

×

1

2

+2=

7

4

．
∴符合條件的點M存在，其坐標為（

1

2

，

7

4

）．

點評：本題考查了一次函數和二次函數解析式的確定、相似三角形的判定和性質、梯形的判定和性質等知識點．
主要考查學生數形結合的數學思想方法．