Question

如圖，拋物線的頂點為A（2，1），且經過原點O，與x軸的另一個交點為B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若平行于x軸的直線與拋物線交于C、D兩點，以CD為直徑的圓恰好與x軸相切，求該圓的圓心坐標．
（3）連接OA，AB，在x軸下方的拋物線上是否存在點N，使△OBN與△OAB相似？若存在，求出N點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由A（2，1）為頂點，設拋物線頂點式，將O（0，0）代入求拋物線解析式；
（2）設平行線x軸的直線為y=m，將y=m與（1）中的拋物線解析式聯立，求|x₁-x₂|，根據|x₁-x₂|=2|m|，列方程求m的值，確定該圓的圓心坐標；
（3）不存在．所得△OBN為等腰三角形，其底邊為ON或BN，當ON為底邊時，ON∥AB，當NB為底邊時，NB∥OA，根據OA，AB的直線解析式，分別求NB，ON的解析式，再與拋物線解析式聯立，求N點坐標．

解答：解：（1）由A（2，1）為拋物線頂點，設拋物線解析式為y=a（x-2）²+1，
將O（0，0）代入，得a（0-2）²+1=0，解得a=-

1

4

，
所以，拋物線解析式為y=-

1

4

（x-2）²+1，即y=-

1

4

x²+x；

（2）設平行線x軸的直線為y=m，C、D兩點橫坐標為x₁、x₂，
聯立

y=m y=- 1 4 x2+x

，解得x²-4x+4m=0，
則CD=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

16-16m

，
當以CD為直徑的圓恰好與x軸相切時，CD=2|m|，即

16-16m

=2|m|，
整理，得m²+4m-4=0，解得m=-2±2

2

，
由拋物線的對稱性可知，圓心在拋物線的對稱軸上，
所以，圓心坐標為（2，-2+2

2

），（2，-2-2

2

）；

（3）不存在．
由拋物線y=-

1

4

x²+x，得B（4，0），已知A（2，1），
所以，直線OA解析式為y=

1

2

x，直線AB解析式為y=-

1

2

x+2，
當△OBN與△OAB相似時，△OBN為等腰三角形，
①若ON為△OBN底邊，ON∥AB，設直線ON解析式為y=-

1

2

x+p，
將O（0，0）代入，得p=0，所以，直線ON解析式為y=-

1

2

x，
聯立

y=- 1 2 x y=- 1 4 x2+x

，解得

x=0 y=0

或

x=6 y=-3

，則N（6，-3）；
則OB≠BN，
∴ON為△OBN底邊時不符合題意；
②若NB為△OBN底邊，NB∥OA，設直線BN解析式為y=

1

2

x+q，
將B（4，0）代入，得q=-2，所以，直線BN解析式為y=

1

2

x-2，
聯立

y= 1 2 x-2 y=- 1 4 x2+x

，解得

x=4 y=0

或

x=-2 y=-3

，則N（-2，-3）；
則ON=

13

，OB=4，
∵

13

≠4，
∴ON≠OB，
∴NB為△OBN底邊的等腰△ONB不存在．
綜上可得點N不存在．

點評：本題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是根據頂點坐標利用頂點式求拋物線解析式，根據圓與x軸相切時，直徑半徑的關系列方程，利用平行線構造等腰三角形，解方程組得出相似三角形的第三個頂點坐標．