Question

某果園有100棵橙子樹，每一棵樹平均結600個橙子．現準備多種一些橙子樹以提高產量，但是如果多種樹，那么樹之間的距離和每一棵所接受的陽光就會減少．根據經驗估計，每多種一棵樹，平均每棵樹就會少結5個橙子．假設果園增種x棵橙子樹，果園橙子的總產量為y個．
（1）求果園增種橙子樹x（棵）與果園橙子總產量y（個）的函數關系式．
（2）在上述問題中，果園要種多少棵橙子樹，就可以使果園橙子的總產量為最多？
（3）增種多少棵橙子樹時，可以使果園橙子的總產量在60420個以上？從計算結果和數學的角度看，你有什么感想（不超過30字）？

Answer 1

解：（1）假設果園增種x棵橙子樹，那么果園共有（x+100）棵橙子樹，
∵每多種一棵樹，平均每棵樹就會少結5個橙子，
∴這時平均每棵樹就會少結5x個橙子，
則平均每棵樹結（600-5x）個橙子．
∵果園橙子的總產量為y，
∴則y=（x+100）（600-5x）
=-5x²+100x+60000，

（2）∵y=（x+100）（600-5x）
=-5x²+100x+60000，
∴當x=-=-=10（棵），
y_最大==65000（個）．
故當增種橙樹的棵數x取10棵時y的值最大，y的值最大是65000個．

（3）當y=-5x²+100x+60000=60420時，
整理得出：x²-20x+84=0，
（x-16）（x-4）=0，
解得：x₁=16，x₂=4，
∵拋物線對稱軸為直線x=10，
∴增種5到15棵橙子樹時，可以使果園橙子的總產量在60420個以上．
通過以上計算可以發現，果園的樹木棵數并不是越多越好，產量的多少取決于科學的計算果樹的棵數．
分析：（1）根據題意設多種x棵樹，就可求出每棵樹的產量，然后求出總產量y與x之間的關系式．
（2）利用當x=-時，y_最大=求出即可．
（3）根據函數關系式y=-5x²+100x+60000=60420，結合一元二次方程解法得出即可．
點評：此題主要考查了二次函數的應用，準確分析題意，列出y與x之間的二次函數關系式是解題關鍵．