Question

4．已知方程kx²-（2k+1）x-3=0．
（1）若方程在（-1，1）和（1，3）內各有一個實根，求實數k的取值范圍；
（2）若方程有一個根小于1，另一個根大于1，求實數k的取值范圍；
（3）若方程在（-1，1）內有兩個實數根，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 令y=kx²-（2k+1）x-3，根據方程有兩個不相等的實數根可得出k≠0．
（1）分別帶入x=-1、1、3求出y值，根據方程在（-1，1）和（1，3）內各有一個實根，可得出關于k的一元二次不等式組，解不等式組即可得出k的取值范圍；
（2）帶入x=1求出y值，根據方程有一個根小于1、另一個根大于1，即可得出關于k的一元一次不等式，解不等式即可得出k的取值范圍；
（3）分別帶入x=-1、1求出y值，根據方程在（-1，1）內有兩個實數根結合根的判別式即可得出關于k的一元二次不等式組，解不等式組即可得出k的取值范圍．

解答 解：令y=kx²-（2k+1）x-3，
∵方程kx²-（2k+1）x-3=0有兩個實數根，
∴k≠0．
（1）當x=-1時，y=k-（2k+1）×（-1）-3=3k-2；
當x=1時，y=k-（2k+1）-3=-k-4；
當x=3時，y=9k-3（2k+1）-3=3k．
∵方程kx²-（2k+1）x-3=0在（-1，1）和（1，3）內各有一個實根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（3k-2）（-k-4）＜0}\\{（-k-4）•3k＜0}\end{array}\right.$，解得：k＜-4或k＞$\frac{2}{3}$．
∴若方程在（-1，1）和（1，3）內各有一個實根，實數k的取值范圍為k＜-4或k＞$\frac{2}{3}$．
（2）當x=1時，y=k-（2k+1）-3=-k-4．
∵方程kx²-（2k+1）x-3=0有一個根小于1，另一個根大于1，
∴k與-k-4的符號相反．
當k＞0時，-k-4＜0，
解得：k＞-4，
此時k＞0；
當k＜0時，-k-4＞0，
解得：k＜-4，
此時k＜-4．
綜上可知：若方程有一個根小于1，另一個根大于1，實數k的取值范圍為k＞0或k＜-4．
（3）當x=-1時，y=k-（2k+1）×（-1）-3=3k-2；
當x=1時，y=k-（2k+1）-3=-k-4．
∵方程kx²-（2k+1）x-3=0在（-1，1）內有兩個實數根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=[-（2k+1）]^{2}-4k•（-3）≥0}\\{-1＜\frac{2k+1}{2k}＜1}\\{（3k-2）（-k-4）＞0}\end{array}\right.$，解得：-4＜k≤$\frac{-4-\sqrt{15}}{2}$．
∴若方程在（-1，1）內有兩個實數根，實數k的取值范圍為-4＜k≤$\frac{-4-\sqrt{15}}{2}$．

點評 本題考查了一元二次方程根的分布、解一元一次不等式以及解一元二次不等式組，解題的關鍵是：（1）找出關于k的一元二次不等式組；（2）找出關于k的一元一次不等式；（3）找出關于k的一元二次不等式組．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據一元二次方程根的分布找出不等式（或不等式組）是關鍵．