Question

【題目】如圖，一次函數的圖象與x軸、y軸分別交于A、B，以線段AB為直角邊在第一象限內作Rt△ABC，且使∠ABC=30°。

（1）求AC的長度；

（2）如果在第二象限內有一點，試求四邊形AOPB的面積S與m之間的函數關系式，并求當△APB與△ABC面積相等時m的值。

（3）是否存在使△QAB是等腰三角形并且在坐標軸上的點Q？若存在，請寫出點Q所有可能的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）AC=；（2）m＝；（3）（0，2），（0，＋2），（1，0）（3，0），（0，），（0，）

【解析】

（1）先求出A、B兩點的坐標，再由一個角等于30°，即可求出AC的長；

（2）過P作PD⊥x軸，垂足為D，先求出梯形ODPB的面積和△AOB的面積之和，再減去△APD的面積，即是△APB的面積；根據△APB與△ABC面積相等，求得m的值；

（3）假設存在點Q，使△QAB是等腰三角形，分情況求出Q點的坐標即可．

（1）∵一次函數的解析式為函數圖象與x軸、y軸分別交于點A、B，

∴A（1，0），B（0，），

∴AB＝2，

設AC＝x，則BC＝2x，由勾股定理得，4x2x2＝4，

解得x＝

則AC=；

（2）過P作PD⊥x軸，垂足為D，

S△APB＝S梯形ODPB＋S△AOBS△APD＝

=，

∵S△ABC=

∴=

解得m＝；

（3）∵AB＝=2，

∴如圖：當AQ＝AB時，點Q1（3，0），Q2（1，0），Q3（0，）；

當AB＝BQ時，點Q4（0，＋2），Q5（0，2），Q2（1，0）；

當AQ＝BQ時，點Q6（0，），Q2（1，0），

綜上可得：（0，2），（0，＋2），（1，0）（3，0），（0，），（0，）