Question

（1998•上海）已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A（-1，0）、B（0，3）、C（4，-5）三點(diǎn)．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式及其圖象的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）這個(gè)函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，除點(diǎn)A外的另一個(gè)交點(diǎn)設(shè)為E，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．在△AOB、△BOE、△ABE和△BDE著四個(gè)三角形中，是否有相似三角形？如果有，指出哪幾對(duì)三角形相似，并加以證明；如果沒(méi)有，要說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）使用代入法可求解二次函數(shù)的解析式．
（2）在坐標(biāo)軸上每一點(diǎn)的坐標(biāo)都是已知，則可根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求得每一線段的長(zhǎng)，若在兩三角形中，三邊對(duì)應(yīng)成比例，而這兩三角形相似，可推得△AOB∽△DBE．
解答：解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0）．
根據(jù)題意，得，
解得a=-1，b=2，c=3．
∴二次函數(shù)的解析式為y=-x²+2x+3．
由y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）
答：頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）；

（2）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)畫出圖形．
△AOB∽△DBE，
∵OA=1，OB=3，AB=，BD=，BE=3，DE=．
得===．
∴△AOB∽△DBE．
點(diǎn)評(píng)：用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式時(shí)要靈活地根據(jù)已知條件選擇配方法和公式法．本題是一道難度較大的二次函數(shù)題，綜合考查了三角形相似的判定定理．