Question

在△ABC中，AD是△ABC的角平分線．
（1）如圖1，過C作CE∥AD交BA延長線于點E，若F為CE的中點，連接AF，求證：AF⊥AD；
（2）如圖2，M為BC的中點，過M作MN∥AD交AC于點N，若AB=4，AC=7，求NC的長．

Answer 1

分析：（1）推出∠3=∠E，推出AC=AE，根據等腰三角形性質得出AF⊥CE，根據平行線性質推出即可；
（2）延長BA與MN延長線于點E，過B作BF∥AC交NM延長線于點F，求出BF=CN，AE=AN，BE=BF．設CN=x，則BF=x，AE=AN=AC-CN=7-x，BE=AB+AE=4+7-x．得出方程4+7-x=x．求出即可．

解答：（1）證明：∵AD為△ABC的角平分線，
∴∠1=∠2．
∵CE∥AD，
∴∠1=∠E，∠2=∠3．
∴∠E=∠3．
∴AC=AE．
∵F為EC的中點，
∴AF⊥EC，
∵AD∥EC，
∴∠AFE=∠FAD=90°．
∴AF⊥AD．

（2）解：延長BA與MN延長線于點E，過B作BF∥AC交NM延長線于點F，
∴∠3=∠C，∠F=∠4．
∵M為BC的中點
∴BM=CM．
在△BFM和△CNM中，

∠F=∠4 ∠3=∠C BM=CM

∴△BFM≌△CNM（AAS），
∴BF=CN，
∵MN∥AD，
∴∠1=∠E，∠2=∠4=∠5．
∴∠E=∠5=∠F．
∴AE=AN，BE=BF．
設CN=x，則BF=x，AE=AN=AC-CN=7-x，BE=AB+AE=4+7-x．
∴4+7-x=x．
解得 x=5.5．
∴CN=5.5．

點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，等腰三角形的性質和判定，平行線的性質等知識點的綜合運用．