Question

（12分）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交AC于點E，交BC于點D.

求證：（1）△CDE是等腰三角形；
（2）△BEC∽△ADC；
（3）.

Answer 1

證明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵四邊形ABDE是圓內接四邊形，∴∠CED＝∠ABC，∴∠C＝∠CED，∴DE＝CD,即△CDE是等腰三角形；
（2）∵∠CBE與∠CAD是所對的圓周角，∴∠CBE＝∠CAD，又∵∠BCE＝∠ACD，∴△BEC∽△ADC；
（3）由△BEC∽△ADC，知，即CD•BC＝AC•CE，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，即AD是底邊BC上的高，又∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∴D是BC的中點；∴CD＝BC，又∵AB＝AC，∴CD•BC＝AC•CE＝BC•BC＝AB•CE，即BC²＝2AB•CE．

解析（1）先根據AB＝AC，得出∠ABC＝∠C，再由圓內接四邊形的性質得出∠CED＝∠ABC，故可得出∠C＝∠CED，由此可得出結論；（2） 欲證△BEC∽△ADC，通過觀察發現兩個三角形已經具備一組角對應相等，即∠AEB＝∠ADC＝90°，此時，再求另一角對應相等即可；（3）由△BEC∽△ADC可證CD•BC＝AC•CE，又D是BC的中點，AB＝AC，即可證BC²＝2AB•CE．
考點：等腰三角形的判定與性質；圓周角定理；相似三角形的判定與性質．
點評：本題考查相似三角形的判定和性質．識別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對應邊成比例、對應角相等．