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是否存在正整數m，n，使得m（m+2）=n（n+1）？

答案是否定的．
若存在正整數m，n，使得m（m+2）=n（n+1），
則m²+2m+1=n²+n+1，
∴（m+1）²=n²+n+1，
顯然n＞1，
于是n²＜n²+n+1＜（n+1）²，
∴n²+n+1不是平方數，矛盾．
∴不存在正整數m，n，使得m（m+2）=n（n+1）．…（5分）

練習冊系列答案

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如圖，正方形ABCD的邊長為5cm，動點P從點C出發，沿折線C-B-A-D向終點D運動，速度為acm/s；動點Q從點B出發，沿對角線BD向終點D運動，速度為

cm/s．當其中一點到達自己的終點時，另一點也停止運動．當點P、點Q同時從各自的

起點運動時，以PQ為直徑的⊙O與直線BD的位置關系也隨之變化，設運動時間為t（s）．
（1）寫出在運動過程中，⊙O與直線BD所有可能的位置關系

；
（2）在運動過程中，若a=3，求⊙O與直線BD相切時t的值；
（3）探究：在整個運動過程中，是否存在正整數a，使得⊙O與直線BD相切兩次？若存在，請直接寫出符合條件的兩個正整數a及相應的t的值；若不存在，請說明理由．

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（1）是否存在正整數m，n，使得m（m+2）=n（n+1）？
（2）設k（k≥3）是給定的正整數，是否存在正整數m，n，使得m（m+k）=n（n+1）？

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已知拋物線y₁=x²+4x+1的圖象向上平移m個單位（m＞0）得到的新拋物線過點（1，8）．
（1）求m的值，并將平移后的拋物線解析式寫成y₂=a（x-h）²+k的形式；
（2）將平移后的拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，與平移后的拋物線沒有變化的部分構成一個新的圖象．請寫出這個圖象對應的函數y的解析式，并在所給的平面直角坐標系中直接畫出簡圖，同時寫出該函數在-3＜x≤-

時對應的函數值y的取值范圍；
（3）設一次函數y₃=nx+3（n≠0），問是否存在正整數n使得（2）中函

數的函數值y=y₃時，對應的x的值為-1＜x＜0？若存在，求出n的值；若不存在，說明理由．

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科目：初中數學 來源： 題型：

（2012•廣州）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=10，F為AD的中點，CE⊥AB于E，設∠ABC=α（60°≤α＜90°）．
（1）當α=60°時，求CE的長；
（2）當60°＜α＜90°時，
①是否存在正整數k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．
②連接CF，當CE²-CF²取最大值時，求tan∠DCF的值．

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科目：初中數學 來源： 題型：

先觀察下面圖形，然后解答問題（1）、（2）、（3）．
圖①是一個三角形，分別連接這個三角形三邊的中點得到圖②，再分別連接圖②中間小三角形三邊的中點，得到圖③．

（1）圖②有

個三角形；圖③有

個三角形；
（2）按上面的方法繼續下去，第n個圖形中有

4n-3

個三角形（用n的代數式表示結論）．
（3）是否存在正整數n，使得第n個圖形中有2013個三角形？若存在，求出n的值；若不存在，請說明理由．

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