Question

（1）是否存在正整數m，n，使得m（m+2）=n（n+1）？
（2）設k（k≥3）是給定的正整數，是否存在正整數m，n，使得m（m+k）=n（n+1）？

Answer 1

分析：（1）m（m+2）=n（n+1）可以變化成（m+1）²=n²+n+1，若存在，則n²+n+1即是一個平方數，即可判斷；
（2）當k=3時，利用與（1）相同的方法即可證明；
當k≥4時，可以分k是偶數與奇數兩種情況進行討論，當k是偶數時，可以設k=2t（t是不小于2的整數），代入式子進行討論；當k是奇數時，可以設k=t+1（t是不小于2的整數），代入即可判斷．

解答：解：（1）答案是否定的．若存在正整數m，n，使得m（m+2）=n（n+1），則（m+1）²=n²+n+1，顯然n＞1，于是n²＜n²+n+1＜（n+1）²，所以，n²+n+1不是平方數，矛盾． （5分）
（2）當k=3時，若存在正整數m，n，滿足m（m+3）=n（n+1），則4m²+12m=4n²+4n，（2m+3）²=（2n+1）²+8，（2m+3-2n-1）（2m+3+2n+1）=8，（m-n+1）（m+n+2）=2，而m+n+2＞2，故上式不可能成立． （10分）
當k≥4時，若k=2t（t是不小于2的整數）為偶數，取m=t²-t，n=t²-1則m（m+k）=（t²-t）（t²+t）=t⁴-t²，
n（n+1）=（t²-1）t²=t⁴-t²，因此這樣的（m，n）滿足條件．若k=2t+1（t是不小于2的整數）為奇數，取
m=

t2-t

2

，n=

t2+t-2

2

則m（m+k）=

t2-t

2

（

t2-t

2

+2t+1）=

1

4

（t⁴+2t³-t²-2t），n（n+1）=

t2+t-2

2

 • 

t2+t

2

=

1

4

（t⁴+2t³-t²-2t），因此這樣的（m，n）滿足條件．綜上所述，當k=3時，答案是否定的；當k≥4時，答案是肯定的．
（15分）

點評：本題主要考查了整數的奇偶性，正確對k的范圍進行分類，根據k的奇偶性對已知的式子m（m+k）=n（n+1）進行變形是解題的關鍵．