Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交AC與E，交BC與D．

求證：
（1）D是BC的中點；
（2）△BEC∽△ADC；
（3）若 ，求⊙O的半徑。

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°

即AD是底邊BC上的高．

又∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形， ∴D是BC的中點

（2）解：∵∠CBE與∠CAD是同弧所對的圓周角，∴ ∠CBE=∠CAD．

又∵ ∠BCE=∠ACD，∴△BEC∽△ADC；

（3）解：由△BEC∽△ADC得： ，

即CD·BC=AC·CE．

∵D是BC的中點，∴CD= BC．

又 ∵AB=AC，∴CD·BC=AC·CE= BC·BC=AB·CE

即BC =2AB·CE=12

∴AB=6

∴⊙O的半徑為3

【解析】（1）由AB是⊙O的直徑，得到AD是底邊BC上的高，根據等腰三角形的三線合一得到D是BC的中點；（2）根據圓周角定理可知∠CBE與∠CAD是同弧所對的圓周角，得到∠CBE=∠CAD，根據兩角對應相等兩三角形相似，得到△BEC∽△ADC；（3）由△BEC∽△ADC，得到比例，再由D是BC的中點，根據切線長定理求出AB的長，得到⊙O的半徑的值.