Question

（2012•內江）已知A（1，5），B（3，-1）兩點，在x軸上取一點M，使AM-BM取得最大值時，則M的坐標為

（

7

2

，0）

．

Answer 1

分析：作點B關于x軸的對稱點B′，連接AB′并延長與x軸的交點，即為所求的M點．利用待定系數法求出直線AB′的解析式，然后求出其與x軸交點的坐標，即M點的坐標．

解答：解：如圖，作點B關于x軸的對稱點B′，連接AB′并延長與x軸的交點，即為所求的M點．此時AM-BM=AM-B′M=AB′．
不妨在x軸上任取一個另一點M′，連接M′A、M′B、M′B′．
則M′A-M′B=M′A-M′B′＜AB′（三角形兩邊之差小于第三邊）．
∴M′A-M′B＜AM-BM，即此時AM-BM最大．
∵B′是B（3，-1）關于x軸的對稱點，∴B′（3，1）．
設直線AB′解析式為y=kx+b，把A（1，5）和B′（3，1）代入得：

k+b=5 3k+b=1

，解得

k=-2 b=7

，
∴直線AB′解析式為y=-2x+7．
令y=0，解得x=

7

2

，
∴M點坐標為（

7

2

，0）．
故答案為：（

7

2

，0）．

點評：本題可能感覺無從下手，主要原因是平時習慣了線段之和最小的問題，突然碰到線段之差最大的問題感覺一籌莫展．其實兩類問題本質上是相通的，前者是通過對稱轉化為“兩點之間線段最短”問題，而后者（本題）是通過對稱轉化為“三角形兩邊之差小于第三邊”問題．可見學習知識要活學活用，靈活變通．