Question

在平行四邊形ABCD中，AB=5，AD=3，sinA=，點P是AB上一動點，（點P不與點A、點B重合），過點P作PQ∥AD交BD于Q，連結CQ，設AP的長為x，四邊形QPBC的面積為y．
（1）計算平行四邊形ABCD的面積；
（2）寫出y關于x的函數解析式，并指出自變量x的取值范圍；
（3）是否存在實數x，使得S_△BPQ=S_△BCQ？如果存在，求出x的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）作DH⊥AB垂足為H，過Q作KR⊥AB交DC于K，交AB于R，求出DH，根據面積公式求出即可；
（2）求出QR，QK的值，分別求出△BPQ、△BDC、△DQC的面積，即可求出答案；
（3）根據（2）得出方程當•（5-x）•=×10-×5×，求出即可．
解答：
解：（1）作DH⊥AB垂足為H，過Q作KR⊥AB交DC于K，交AB于R，
∵，
∴在Rt△ADH中，DH=AD•sinA=2，
∴S _□ABCD=AB•DH=5•2=10；

（2）∵PQ∥AD，
∴△BQP∽△BDA，
∴=，=
∴=，=
∴PQ=，QR=，
∴QK=2-=，
∴y=S_△BPQ+S_△BDC-S_△DQC=•（5-x）•+×10-×5×，
y=x²-3x+10（0＜x＜5）；

（3）不存在實數x，使得S_△BPQ=S_△BCQ，
理由是：假設存在x，使S_△BPQ=S_△BQC，
則•（5-x）•=×10-×5×                                
解得  x₁=0或x₂=5                         
∵0＜x＜5，
∴不存在實數x，使S_△BPQ=S_△BCQ．
點評：本題考查了相似三角形的性質和判定，平行四邊形的性質，三角形的面積的應用，主要考查學生的計算能力，注意：相似三角形的對應高之比等于對應邊之比．