Question

4．如圖所示，已知拋物線y=$\frac{1}{4}$x²，點M、N的坐標分別為（0，1）、（0，-1）．
（1）點P是拋物線上的一個動點，判斷以點P為圓心，PM為半徑的圓與直線y=-1的位置關系；
（2）若經過點M的直線與拋物線y=$\frac{1}{4}$x²的交于A、B，聯結NA、NB，探索∠ANM和∠BNM之間的關系，并給出證明過程．

Answer 1

分析 （1）可先根據拋物線的解析式設出P點的坐標，那么可得出PM的長的表達式，P點到y=-1的長就是P點的縱坐標與-1的差的絕對值，那么可判斷得出的表示PM和P到y=-1的距離的兩個式子是否相等，如果相等，則y=-1是圓P的切線．
（2）可通過構建相似三角形來求解，過B，A作BR⊥直線y=-1，AH⊥直線y=-1，垂足為R，H，那么BR∥MN∥AH，根據平行線分線段成比例定理可得出BM：MA=RN：NH．（1）中已得出了AM=AH，那么同理可得出BM=BR，那么比例關系式可寫成BR：AH=RN：NH，而這兩組對應成比例的線段的夾角又都是直角，因此可求出∠BNR=∠ANH，根據等角的余角相等，可得出∠BNM=∠ANM．

解答 解：（1）設點P的坐標為（x₀，$\frac{1}{4}$x²₀），則PM=$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+（\frac{1}{4}{{x}_{0}}^{2}-1）^{2}}$=$\frac{1}{4}$x${{\;}_{0}}^{2}$+1；
又因為點P到直線y=-1的距離為，$\frac{1}{4}$x²₀-（-1）=$\frac{1}{4}$x²₀+1
所以，以點P為圓心，PM為半徑的圓與直線y=-1相切．

（2）如圖，分別過點A，B作直線y=-1的垂線，垂足分別為H，R，設A（a，$\frac{1}{4}$a²），B（b，$\frac{1}{4}$b²），
∴AM=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{1}{4}{a}^{2}-1）^{2}}$=$\frac{1}{4}$a²+1，BM=$\sqrt{{b}^{2}+（\frac{1}{4}{b}^{2}-1）^{2}}$=$\frac{1}{4}$b²+1，
∵AH=$\frac{1}{4}$a²+1，BR=$\frac{1}{4}$b²+1，
∴AM=AH，BM=BR，
∵AH，MN，BR都垂直于直線y=-1，
所以，AH∥MN∥BR，
于是$\frac{BM}{RN}=\frac{AM}{NH}$，
所以$\frac{BR}{RN}$=$\frac{AH}{HN}$，
因此，Rt△AHN∽Rt△BRN．
于是∠HNP=∠RNQ，從而∠ANM=∠BNM．

點評 本題主要考查了相似三角形的性質，平行的性質以及二次函數和一次函數的綜合應用．（2）中通過構建相似三角形來求角相等是解題的關鍵．