Question

如圖1，菱形ABCD中，點E、F分別為AB、AD的中點，連接CE、CF．
（1）求證：CE=CF；
（2）如圖2，若H為AB上一點，連接CH，使∠CHB=2∠ECB，求證：CH=AH+AB．

Answer 1

分析：（1）由菱形ABCD中，點E、F分別為AB、AD的中點，易證得△BCE≌△DCF（SAS），則可得CE=CF；
（2）由平行線的性質，可得AG=AB，∠G=∠FCD，由全等三角形的對應角相等，可得∠BCE=∠DCF，然后由∠CHB=2∠ECB，易證得∠G=∠HCG，則可得CH=GH，則可證的結果．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，AB=BC=CD=AD，
∵點E、F分別為AB、AD的中點，
∴BE=

1

2

AB，DF=

1

2

AD，
∴BE=DF，
在△BCE和△DCF中，

BC=DC ∠B=∠D BE=DF

，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴CE=CF；

（2）證明：延長BA與CF，交于點G，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，AB=BC=CD=AD，AF∥BC，AB∥CD，
∴∠G=∠FCD，
∵點F分別為AD的中點，且AG∥CD，
∴AG=AB，
∵△BCE≌△DCF，
∴∠ECB=∠DCF，
∵∠CHB=2∠ECB，
∴∠CHB=2∠G，
∵∠CHB=∠G+∠HCG，
∴∠G=∠HCG，
∴GH=CH，
∴CH=AH+AG=AH+AB．

點評：此題考查了菱形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質以及平行線的性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．