Question

如圖，在菱形ABCD中，過點A作AE⊥BC，垂足E為BC的中點，連接DE，F為DE上一點，且∠AFE=∠B．
（1）求證：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=4，求DE和AF的長．

Answer 1

分析：（1）根據已知及菱形的性質利用AAS判定△ADF∽△DEC．
（2）勾股定理求出AE，DE的長，再根據相似三角形的性質求出AF的長．

解答：（1）證明：∵∠B+∠C=180°，∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，
∴∠C=∠AFD．
∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠DEC．
∵AD=DC，
∴△ADF∽△DEC．

（2）解：∵AB=4，E為BC的中點，
∴BE=2，AE=2

3

，DE=

AD2+AE2

=2

7

．
∵△ADF∽△DEC，
∴

DE

AD

=

DC

AF

．
∴AF=

8 7

7

．

點評：本題考查了菱形的性質及勾股定理的應用，會用相似三角形對應邊成比例求線段的長．