Question

在平面直角坐標系xOy，已知拋物線y=x²-2mx+m²-9．

(1)求證：無論m為何值，該拋物線與x軸總有兩個交點；

(2)該拋物線與x軸交于A，B兩點，點A在點B的左側，且OA＜OB，與y軸的交點坐標為（O，-5），求此拋物線的解析式；

(3)在(2)的條件下，拋物線的對稱軸與x軸的交點為N，若點M是線段AN上的任意一點，過點M作直線MC⊥x軸，交拋物線于點C，記點C關于拋物線對稱軸的對稱點為D，點P是線段MC上一點，且滿足MP=MC，連結CD,PD，作PE⊥PD交x軸與點E,問是否存在這樣的點E，使得PE=PD，若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：(l)△=(-2m)² -4(m² -9) =4m²-4m²+36 =36 >0，所以無論

m為何值，一元二次方程x² -2mx+m²-9 =0總有兩個不相

等的實數根；       

說明：指出拋物線開口向上，頂點在x軸下方，所以該 拋

物線與x軸總有兩交點    （亦可）

(2) ∵拋物線y=x²-2mx+m²-9與y軸交點生標為（0，-5），

    ∴-5=m²-9．解得m=t2.

    ∵拋物線y=x²-mx+m²-9與x軸交于A，B兩點,點A在點B          的左側，且0A<OB．

    ∴m=2．

    ∴拋物線的解析式為y =x²-4x-5．

 (3)假設點E存在，

    ∵MC⊥EM，CD⊥MC，∴∠EMP= ∠PCD.

∵ PE⊥ PD．∴∠EPM=∠PDC.

∵PE= PD．∴△EPM≌△PDC.

∴PM=DC,EM=PD.

該拋物線y=x²-4x-5的對稱軸x=2，N(2，O)，A（一l，O），B(5，0)

設C(x₀ ,y₀)，則D(4-x₀，y₀),P(x₀, y₀)．(其中一l<x₀<2,y₀=x₀²-4x₀-5)

由CD= PM 得4 - 2xo=一y₀．

即4 - 2x0=一( x₀²-4x₀-5).

解得x₀=1或x₀=1l（舍去）

∴M(1，O)，C（1，一8） ∴P（1，一2）． ∴PC =6．

∴ME= PC=6． ∴E(7，O)

∴點E存在其坐標為(7，O)．