Question

（2008•孝感）如圖，AB為⊙O的直徑，PQ切⊙O于T，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．
（1）求證：AT平分∠BAC；
（2）若AD=2，TC=，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）PQ切⊙O于T，則OT⊥PC，根據AC⊥PQ，則AC∥OT，要證明AT平分∠BAC，只要證明∠TAC=∠ATO就可以了．
（2）過點O作OM⊥AC于M，則滿足垂徑定理，在直角△AOM中根據勾股定理就可以求出半徑OA．
解答：（1）證明：連接OT；
∵PQ切⊙O于T，
∴OT⊥PQ，
又∵AC⊥PQ，
∴OT∥AC，
∴∠TAC=∠ATO；
又∵OT=OA，
∴∠ATO=∠OAT，
∴∠OAT=∠TAC，
即AT平分∠BAC．

（2）解：過點O作OM⊥AC于M，
∴AM=MD==1；
又∠OTC=∠ACT=∠OMC=90°，
∴四邊形OTCM為矩形，
∴OM=TC=，
∴在Rt△AOM中，
；
即⊙O的半徑為2．
點評：本題考查了圓的切線性質定理，等腰三角形的性質定理，等邊對等角，垂徑定理，勾股定理．此題是這幾個定理的綜合應用．