Question

如圖，BD是等邊△ABC的高，E是BC延長線上一點，且CE=

1

2

BC．
（1）直接寫出CE與CD的數量關系；
（2）試說明△BDE是等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）CD=CE，理由為：由等邊三角形ABC得到∠ABC為60°，又DB垂直AC，根據“三線合一”得到∠DBC為30°，根據直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得到CD等于BC的一半，由題中已知的CE等于BC的一半，等量代換可得CD=CE；
（2）由等邊三角形ABC得到∠ACB為60°，又（1）得到CD=CE，根據“等邊對等角”以及外角性質得到∠E=30°，又∠DBC為30°，故兩角相等，再根據“等角對等邊”得到BD=DE，即三角形BDE為等腰三角形．

解答：解：（1）CD=CE；（2分）

（2）∵△ABC是等邊三角形
∴AB=AC=BC∠ABC=∠ACB=60°，（4分）
∵BD⊥AC
∴∠CBD=

1

2

∠ACB=30°，CD=

1

2

AC，（5分）
∵CE=

1

2

BC
∴CD=CE，（6分）
∴∠E=∠CDE，（7分）
∵∠ACB=∠E+∠CDE
∴∠E=

1

2

∠ACB=30°，（8分）
∴∠CBD=∠E，
∴BD=ED，
∴△BDE是等腰三角形．（9分）

點評：此題考查了等邊三角形的性質，直角三角形的性質以及等腰三角形的判定．利用等腰三角形的性質可以解決證明角、邊的相等問題，尤其在證明其性質和判定中展示的轉換意識，對同學們分析和解決問題能力的提高有非常重要的價值．