Question

14．已知二次函數y=mx²-5mx+1（m為常數，m＞0），設該函數的圖象與y軸交于點A，該圖象上的一點B與點A關于該函數圖象的對稱軸對稱．
（1）求點A，B的坐標；
（2）點O為坐標原點，點M為該函數圖象的對稱軸上一動點，求當M運動到何處時，△MAO的周長最小．

Answer 1

分析 （1）令x=0可求得y=1，可求得A點坐標，再利用對稱性可求得B點坐標；
（2）可先求得直線OB解析式，當點M運動到直線OB與二次函數對稱軸的交點時，滿足條件，可求得M點的坐標．

解答 解：∵
（1）當x=0時，y=1，則點A的坐標為（0，1），
∵拋物線對稱軸為x=$\frac{5m}{2m}$=$\frac{5}{2}$，
∴B點坐標為（5，1）；
（2）設直線OB解析式為y=kx，把B（5，1）代入可得5k=1，解得k=$\frac{1}{5}$，
∴直線OB解析式為y=$\frac{1}{5}$x，
由軸對稱的性質可知當點M運動到直線OB與二次函數對稱軸的交點時，△MAO的周長最小．
當x=$\frac{5}{2}$時，y=$\frac{1}{2}$，
∴M點的坐標為（$\frac{5}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題主要考查二次函數的性質及軸對稱的性質，利用軸對稱的性質確定出M點的位置是解題的關鍵．