Question

【題目】綜合與探究

如圖1所示，直線y=x+c與x軸交于點(diǎn)A(-4,0)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A，C．

(1)求拋物線的解析式

(2)點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，求CE+OE的最小值；

(3)如圖2所示，M是線段OA的上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M垂直于x軸的直線與直線AC和拋物線分別交于點(diǎn)P、N．

①若以C，P，N為頂點(diǎn)的三角形與△APM相似，則△CPN的面積為　　；

②若點(diǎn)P恰好是線段MN的中點(diǎn)，點(diǎn)F是直線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)D，使以點(diǎn)D，F(xiàn)，P，M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

注：二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為()

Answer 1

【答案】(1)y=-x2-3x+4；(2)5；(3)①或4；②存在，D點(diǎn)坐標(biāo)為(，)或(-1+，)或(-1-，-)或(-4，3).

【解析】

（1）根據(jù)已知條件求出C,再將點(diǎn)A代入即可求出解析式.

(2) 做點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸直線的對(duì)稱點(diǎn)，連，交直線于點(diǎn)．連，根據(jù)勾股定理即可解答.

(3)①分類討論不同相似情況，利用條件求出線段長度即可解答.

②設(shè)坐標(biāo)為，得出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入式子求出a，根據(jù)菱形性質(zhì)即可求出D點(diǎn)坐標(biāo).

(1)將代入

將和代入

拋物線解析式為

(2)做點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸直線的對(duì)稱點(diǎn)，連，交直線于點(diǎn)．

連，此時(shí)的值最小．

拋物線對(duì)稱軸位置線

由勾股定理

的最小值為5

(3)①當(dāng)時(shí)，

，則關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱

的面積為

當(dāng)時(shí)

由已知為等腰直角三角形，

過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為

，

則為，

代入

解得

的面積為4

故答案為：或4

②存在

設(shè)坐標(biāo)為

則為

則點(diǎn)坐標(biāo)為

把點(diǎn)坐標(biāo)代入

解得(舍去)，

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在垂直平分線上，則

當(dāng)時(shí)，由菱形性質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)為，，

當(dāng)時(shí)，、關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)坐標(biāo)為