Question

【題目】如圖1，正△ABC中，點D為BC邊的中點，將∠ACB繞點C順時針旋轉α角度（0°＜α＜60°）得∠A'CB'，點P為線段A′C上的一點，連接PD與B′C、AC分別交點點E、F，且∠PAC=∠EDC．

（1）求證：AP=2ED；

（2）猜想PA和PC的位置關系，并說明理由；

（3）如圖2，連接AD交B'C于點G，若AP=2，PC=4，求AG的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）PA⊥PC.（3）-．

【解析】

（1）易證得△CDE∽△CAP，得到，即可證得結論；

（2）先證得A、D、C、P四點共圓，即可證得AC是共圓的直徑，根據圓周角定理看證得∠APC=90°；
（3）根據勾股定理求得等邊三角形ABC的邊長，由（1）的結論求得DE=1，根據勾股定理求得EC，然后通過證得△EDG∽△ECD，得到，進而即可求得AG的長．

（1）證明：∵將∠ACB繞點C順時針旋轉α角度（0°＜α＜60°）得∠A'CB'，

∴∠DCE=∠ACP，

∵∠PAC=∠EDC，

∴△CDE∽△CAP，

∴=，

∵△ABC 是等邊三角形，

∴BC=AC，

∴點D為BC邊的中點，

∴CD=BC=AC，

∴==，

∴AP=2ED；

（2）解：PA⊥PC，

理由：連接AD，如圖1，

∵△ABC是等邊三角形，BD=CD，

∴AD⊥BC，

∴∠ADC=90°，

∵∠PAC=∠EDC，

∴A、D、C、P四點共圓，

∵∠ADC=90°，

∴AC是共圓的直徑，

∴∠APC=90°，

∴PA⊥PC；

（3）解：如圖2，

∵AP=2，PC=4，∠APC=90°，

∴AC==2，

∴DC=AC=，AD=AC=

∵AP=2ED，

∴ED=1，

∵△CDE∽△CAP，

∴∠CED=∠APC=90°，

∴CE==2，

∵∠EDG+∠EDC=90°∠EDC+∠ECD=90°，

∴∠EDG=∠ECD，

∵∠CED=∠DEG=90°，

∴△EDG∽△ECD，

∴=，

∴GD===，

∴AG=AD-GD=-．