Question

如圖，在△ABC上，點D、E分別是AC、BC邊上的點，AE與BD交于點O，且CD=CE，∠1=∠2．

（1）求證：四邊形ABDE是等腰梯形；

（2）若EC=2，BE=1，∠AOD=2∠1，求AB的長．

Answer 1

【考點】等腰梯形的判定．

【分析】（1）由等腰三角形的性質得出∠CDE=∠CED，由三角形的外角性質和已知條件得出∠AED=∠BDE，證出OD=OE，由AAS證明△AOD≌△BOE，得出AD=BE，OA=OB，由等腰三角形的性質得出∠OAB=∠OBA，再由對頂角相等和三角形內角和定理得出∠OAB=∠OBA=∠ODE=∠OED，證出DE∥AB，即可得出結論；

（2）由三角形的外角性質和已知條件得出∠1=∠OED，證出AD=ED=BE=1，由平行線的性質得出△CDE∽△CAB，得出對應邊成比例，即可得出AB的長．

【解答】（1）證明：∵CD=CE，

∴∠CDE=∠CED，

∵∠CDE=∠2+∠AED，∠CED=∠1+∠BDE，∠1=∠2，

∴∠AED=∠BDE，

∴OD=OE，

在△AOD和△BOE中，

，

∴△AOD≌△BOE（AAS），

∴AD=BE，OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA，

∵∠AOD=∠BOE，

∴∠OAB=∠OBA=∠ODE=∠OED，

∴DE∥AB，

∴四邊形ABDE是等腰梯形；

（2）解：∵∠AOD=2∠1=∠ODE+∠OED，∠OED=∠ODE，

∴∠1=∠OED，

∴AD=ED=BE=1，

∵DE∥AB，

∴△CDE∽△CAB，

∴，

即，

解得：AB=．

【點評】本題考查了等腰梯形的判定、等腰三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質等知識；熟練掌握等腰梯形的判定，證明三角形全等和三角形相似是解決問題的關鍵．