Question

9．已知關于x的一元二次方程x²-6x+k=0．
（1）當它有兩個實數根時，求k的范圍；
（2）當k=-11時，假設方程兩根是x₁，x₂，求x₁²+x₂²+8的值．

Answer 1

分析 （1）根據關于x的一元二次方程x²-6x+k=0有兩個實數根，可得△≥0，從而可以得到k的范圍；
（2）根據k=-11，方程兩根是x₁，x₂，可以得到兩根之和與兩根之積，從而可以得到x₁²+x₂²+8的值．

解答 解：（1）∵關于x的一元二次方程x²-6x+k=0，
∴當它有兩個實數根時，△=（-6）²-4×1×k≥0，
解得，k≤9，
即k的取值范圍是k≤9；
（2）∵k=-11，
∴x²-6x-11=0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{-6}{1}=6，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{-11}{1}=-11$，
∴x₁²+x₂²+8=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}+8$=6²-2×（-11）+8=66，
即x₁²+x₂²+8的值是66．

點評 本題考查根的判別式和根與系數的關系，解題的關鍵是明確根的判別式△的取值不同，根的情況也不同和根與系數的關系，巧妙變化得到所求問題需要的條件．