Question

如圖：已知MN∥PQ，同旁內角的平分線AB、CD和AD、CD分別相交于點．
（1）猜想AC和BD間的關系是什么？
（2）試用理由說明你的猜想．

Answer 1

（1）答：AC與BD互相平分，且AC=BD，


（2）證明：∵MN∥PQ，
∴∠MAC=∠ACQ、∠ACP=∠NAC，
∵AB、CD分別平分∠MAC和∠ACQ，
∴∠BAC=∠MAC、∠DCA=∠ACQ，
又∵∠MAC=∠ACQ，∴∠BAC=∠DCA，
∴AB∥CD，
∵AD、CB分別平分∠ACP和∠NAC，
∴∠BCA=∠ACP、∠DAC=∠NAC，
又∵∠ACP=∠NAC，
∴∠BCA=∠DAC，
∴AD∥CB，
又∵AB∥CD，
∴四邊形ABCD平行四邊形，
∵∠BAC=∠MAC，∠ACB=∠ACP，
又∵∠MAC+∠ACP=180°，
∴∠BAC+∠ACP=90°，
∴∠ABC=90°，
∴平行四邊形ABCD是矩形．
分析：（1）AC與BD互相平分，（2）由題意可以推出∠BAC=∠DCA，繼而推出AB∥CD；推出∠BCA=∠DAC，既而推出AD∥CB，因此四邊形ABCD平行四邊形，所以AC與BD互相平分．
點評：本題主要考查平行線的性質、角平分線的性質、平行四邊形的判定和性質，關鍵在于根據已知條件推出AD∥CB，AB∥CD，求證四邊形ABCD平行四邊形．