Question

已知：如圖，圓O的半徑OC垂直于弦AB，點P在OC的延長線上，AC平分∠PAB．
（1）求證：PA是圓O的切線；
（2）如果PC=

2

，∠P=30°，求陰影部分面積．

Answer 1

分析：（1）連接OA，由半徑OC垂直于弦AB，利用垂徑定理得到C為劣弧AB的中點，利用等弧所對的圓周角等于所對圓心角的一半得到∠BAC為∠AOC的一半，而AC為∠BAP的平分線，得到∠BAC為∠BAP的一半，可得出∠AOC=∠BAP，在直角三角形中兩銳角互余，等量代換得到∠OAB+∠BAP為90度，即∠OAP為直角，可得出AP為圓的切線；
（2）由∠P為30度得到∠AOP為60度，可得出三角形OAC為等邊三角形，再利用30度角所對直角邊等于斜邊的一半得到OA為OP的一半，可得出C為OP中點，由PC的長求出圓的半徑長，利用扇形面積公式求出扇形OAC的面積，用三角形OPA的面積減去扇形OAC的面積即可求出陰影部分的面積．

解答：（1）證明：連接OA，
∵OC⊥AB，
∴C為

AB

的中點，即

AC

=

BC

，
∴∠BAC=

1

2

∠COA，
∵AC為∠BAP的平分線，
∴∠BAC=

1

2

∠BAP，
∴∠COA=∠BAP，
∵∠COA+∠OAB=90°，
∴∠BAP+∠OAB=90°，即∠OAP=90°，
∴AP為圓O的切線；
（2）∵Rt△AOP中，∠P=30°，
∴OA=

1

2

OP，∠AOP=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC為等邊三角形，即OA=OC=AC，
∴C為OP的中點，即OA=OC=PC=

2

，OP=2

2

，
根據勾股定理得：AP=

6

，
∴S_陰影=S_△AOP-S_扇形AOC=

1

2

×

2

×

6

-

60π×( 2 )2

360

=

3

-

π

3

．

點評：此題考查了切線的判定，涉及的知識有：圓周角定理，含30度直角三角形的性質，勾股定理，等邊三角形的性質，以及扇形的面積求法，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關鍵．