Question

12．如圖，AB是⊙O的直徑，C是弧AB的中點，⊙O的切線BD交AC的延長線于點D．
（1）求證：AC=CD；
（2）若OB=2，求△ABC的周長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由C是$\widehat{AB}$的中點，AB是⊙O的直徑，則CO⊥AB，再由BD是⊙O的切線，得BD⊥AB，從而得出OC∥BD，即可證明AC=CD；
（2）由OB=2，可得AB=BD=4，由勾股定理得到AD═4$\sqrt{2}$，由等腰三角形的性質得到AC=2$\sqrt{2}$，BC=2$\sqrt{2}$，即可求得△ABC的周長．

解答 （1）證明：連接OC，
∵C是$\widehat{AB}$的中點，AB是⊙O的直徑，
∴CO⊥AB，
∵BD是⊙O的切線，
∴BD⊥AB，
∴OC∥BD，
∵OA=OB，
∴AC=CD；

（2）解：∵OB=2，
∴AB=BD=4，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴AC=$\frac{1}{2}$AD=2$\sqrt{2}$，BC=$\frac{1}{2}$AD=2$\sqrt{2}$，
∴△ABC的周長=AB+BC+AC=4+4$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了垂徑定理，切線的性質，平行線的性質，等腰三角形的性質，勾股定理等知識，掌握切線的性質，準確作出輔助線是解題的關鍵．