Question

有一張長比寬多8cm的矩形紙板．如果在紙板的四個角處各剪去一個正方形（如圖所示），可制成高是4cm，容積是512cm³的一個無蓋長方體紙盒．
（1）求矩形紙板的長和寬；
（2）在操作過程中，由于不小心，矩形紙板被剪掉一角，其直角邊長分別為3cm和6cm．如果在剩余的紙板上先裁剪一個各邊與原矩形紙板各邊平行或重合的矩形，然后再按如圖裁剪方式制作高仍是4cm的無蓋長方體紙盒，那么你認為如何裁剪才能使制作的長方體紙盒的容積最大，請畫出草圖，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）設出矩形紙板的寬，根據長比寬多8cm，即可表示出紙板的長，然后根據長方體紙盒的容積列方程求出紙板的長和寬．
（2）首先根據已知條件畫出草圖，設能夠裁剪的矩形為CGHP，并延長GH交ND于M，由于HM∥AM，易證得△HME∽△ANE，可得關于HM、AN、ME、NE的比例關系式，然后分兩種情況考慮：
①當3cm的邊在BN上時，可設NM為x，根據上面得到的比例線段，可求得HM的表達式，進而可表示出HG的長，HP的長易求得，然后根據（1）題的計算方法，表示出長方體紙盒的容積，即可得到關于紙盒容積和NM長的函數關系式，根據函數的性質以及自變量的取值范圍，即可得到長方體紙盒的最大容積及對應的NM即BG的長；
②當6cm的邊在BN上時，解法同①；
然后比較兩種情況下，所得長方體紙盒的最大容積，即可確定裁剪方案．

解答：解：（1）設矩形紙板的寬為xcm，則長為（x+8）cm．（1分）
根據題意，得4（x-8）（x+8-8）=512，（3分）
解得，x₁=16，x₂=-8（不合題意，舍去）（4分）
∴x+8=24（cm）．（5分）
答：矩形紙板的長和寬分別24cm，16cm．

（2）設所裁剪的矩形是CGHP，延長GH交ND于點M
∵HM∥BN，
∴△HME∽△ANE，
∴

HM

AN

=

ME

NE

．
分兩種情況：
當3cm的邊在BN上時（如圖1）（6分）
設NM為x，則

HM

3

=

6-x

6

．
∴HM=3-

x

2

，∴GH=16-（3-

x

2

）=13+

x

2

；
∴V=4（13+

x

2

-8）（24-x-8）（8分）
=-2（x²-6x-160）=-2（x-3）²+338．
∴當NM為3cm時，長方體紙盒的容積最大．（9分）
當6cm的邊在BN上時（如圖2）．（10分）
設NM為x，
∴

HM

6

=

3-x

3

，∴HM=6-2x
∴GH=16-（6-2x）=10+2x，
∴V=4（10+2x-8）（24-x-8），
=-8（x-7.5）²+578．（11分）
∵0≤x≤3，且-8＜0，∴V隨x增大而增大，
∴當NM為3cm時，長方體紙盒的容積最大．（12分）
綜上所知，在BC上取點G，使BG=3cm，這樣裁剪的矩形GHPC能使所制作的長方體紙盒的容積最大．

點評：此題考查了矩形的性質、相似三角形的判定和性質以及二次函數最值的應用；要注意的是（2）題中，3cm、6cm的邊都有可能在BN上，因此要分類討論，不要漏解．