Question

有一張長比寬多8cm的矩形紙板．如果在紙板的四個角處各剪去一個正方形(如圖17所示)，可制成高是4cm，容積是512cm³的一個無蓋長方體紙盒．

⑴求矩形紙板的長和寬；

⑵在操作過程中，由于不小心，矩形紙板被剪掉一角，其直角邊長分別為3cm和6cm．如果在剩余的紙板上先裁剪一個各邊與原矩形紙板各邊平行或重合的矩形，然后再按圖的裁剪方式制作高仍是4cm的無蓋長方體紙盒，那么你認為如何裁剪才能使制作的長方體紙盒的容積最大，請畫出草圖，并說明理由．

Answer 1

解：（1）設矩形紙板的寬為cm，則長為（+8）cm．

根據題意，得，

解得，=16，=(不合題意，舍去)

∴+8=24（cm）． 答：矩形紙板的長和寬分別24cm，16cm．

（2）設所裁剪的矩形是CGHP，延長GH交ND于點M．

∵HM∥BN，

∴△HME∽△ANE，

∴．

分兩種情況：

當3cm的邊在BN上時（如圖1）

設NM為x，則．

∴HM=，∴GH=16-（）=；

∴=4（）

==．

∴當NM為3cm時，長方體紙盒的容積最大．

當6cm的邊在BN上時（如圖2）．

設NM為x，

∴，∴HM=6

∴GH==10+2，

∴V=，

=．

∵ 0≤≤3，且，∴隨增大而增大，

∴當NM為3cm時，長方體紙盒的容積最大．綜上所知，在BC上取點G，使BG=3cm，這樣裁剪的矩形GHPC能使所制作的長方體紙盒的容積最大．