Question

已知方程6x²+2（m-13）x+12-m=0恰有一個正整數解，則整數m的值為

 

．

Answer 1

分析：根據方程6x²+2（m-13）x+12-m=0恰有一個正整數解可知：△=[2（m-13）]²-4×6×（12-m）=4×[（m-13）²-6•（12-m）]應該是一個完全平方式，令令（m-13）²-6•（12-m）=y²，把該式轉化成m²-20m-y²+97=0，即（m-10）²-y²=3，于是列出m和y的二元一次方程組，求出m的值，最后驗證m是否符合題意．

解答：解：由題意知：△=[2（m-13）]²-4×6×（12-m）=4×[（m-13）²-6•（12-m）]應該是一個完全平方式，
所以（m-13）²-6•（12-m）是一個完全平方式，
令（m-13）²-6•（12-m）=y²（y是正整數），則
m²-20m-y²+97=0，即（m-10）²-y²=3，
∴（m-10+y）（m-10-y）=3×1=（-3）×（-1），
∴

m-10+y=3 m-10-y=1

或

m-10+y=1 m-10-y=3

或

m-10+y=-3 m-10-y=-1

或

m-10+y=-1 m-10-y=-3

，
解得m=12或8，
當m=12時，原方程即6x²-2x=0，
解得x=0或

1

3

，不符合題意，
當m=8時符合題意，整數m的值為8，
故答案為8．

點評：本題主要考查一元二次方程的整數跟和有理根的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握跟的判別式和完全平方式的知識，此題難度不大．