Question

已知方程6x²+2（m-13）x+12-m=0恰有一個正整數解，則整數m的值為______．

Answer 1

由題意知：△=[2（m-13）]²-4×6×（12-m）=4×[（m-13）²-6•（12-m）]應該是一個完全平方式，
所以（m-13）²-6•（12-m）是一個完全平方式，
令（m-13）²-6•（12-m）=y²（y是正整數），則
m²-20m-y²+97=0，即（m-10）²-y²=3，
∴（m-10+y）（m-10-y）=3×1=（-3）×（-1），
∴

m-10+y=3 m-10-y=1

或

m-10+y=1 m-10-y=3

或

m-10+y=-3 m-10-y=-1

或

m-10+y=-1 m-10-y=-3

，
解得m=12或8，
當m=12時，原方程即6x²-2x=0，
解得x=0或

1

3

，不符合題意，
當m=8時符合題意，整數m的值為8，
故答案為8．