Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A,B兩點，拋物線上另有一點 C在x軸下方，且使ΔOCA∽ΔOBC.

(1)求線段OC的長度;

(2)設直線BC與y軸交于點D，點C是BD的中點時，求直線BD和拋物線的解析式，

(3)在(2)的條件下，點P是直線BC下方拋物線上的一點，過P作于點E，作PF//AB交BD于點F，是否存在一點P，使得最大，若存在，請求出該最大值;若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）存在，.

【解析】

（1）由拋物線與x軸交于A,B兩點，得OA=1，OB=3，由ΔOCA∽ΔOBC.，得，進而得到答案；

（2）由點C是BD的中點，OC=，得：a=，點C的坐標是：（ ，），再根據待定系數法，求出直線BD和拋物線的的解析式；

（3）由直線BD的解析式為：，得：∠OBD=30°，由，PF//AB，得PE=PF，，設P坐標為（m，），（ ），

點F的坐標為（，），求出PF關于m的函數解析式，即可求出的最大值.

（1）∵拋物線與x軸交于A,B兩點，

∴A(1，0)，B(3，0)，即：OA=1，OB=3，

∵ΔOCA∽ΔOBC.，

∴ ，即：，

∴OC=；

（2）∵點C是BD的中點，

∴點C的坐標（ ，），

∵OC=，

∴，解得：a=或a=-（舍去）

∴拋物線的解析式為：，

即：

∴點C的坐標是：（ ，），

設直線BD的解析式為：y=kx+b，

把（ ，），（3，0）代入y=kx+b，

得：，解得：，

∴直線BD的解析式為：；

（3）存在，理由如下：

∵直線BD的解析式為：，

∴點D坐標為（0，），即：OD=，

∴tan∠OBD=，

∴∠OBD=30°，

∵，PF//AB，

∴∠PFE=∠OBD=30°，

∴PE=PF，

∴，

設P坐標為（m，），（ ），

則點F的坐標為（，），

∴PF=m-()==，

∴當m=時，PF的最大值=，此時，的最大值=.