Question

如圖，P是等邊三角形ABC內的一點，連接PA、PB、PC，以BP為邊作等邊三角形BPM，連接CM．
（1）觀察并猜想AP與CM之間的大小關系，并說明你的結論；
（2）若PA=PB=PC，則△PMC是

 

三角形；
（3）若PA：PB：PC=1：

2

：

3

，試判斷△PMC的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）通過觀察應該是相等關系，可通過證三角形APB和BMC全等來實現，這兩個三角形中已知的條件有：AB=BC，BP=BM，只要再得出這兩組對應邊的夾角相等即可得出全等的結論，我們發現∠ABP和∠MBC都是60°-∠PBC，因此這兩個角相等，也就湊成了三角形全等的所有條件．因此可得兩三角形全等，也就證明了AP=CM；
（2）根據（1）的結論AP=CM，又有三角形BPM是等邊三角形，因此PA=PB=PC可寫成PM=PC=CM，也就是說三角形PMC是等邊三角形．
（3）根據AP=CM，BP=PM，我們可將題中給出的比例關系式寫成CM：PM：PC=1：

2

：

3

．我們發現這三邊正好符合勾股定理的要求．因此三角形PMC是直角三角形．

解答：解：（1）AP=CM．
∵△ABC、△BPM都是等邊三角形，
∴AB=BC，BP=BM，∠ABC=∠PBM=60°．
∴∠ABP+∠PBC=∠CBM+∠PBC=60°．
∴∠ABP=∠CBM．
∴△ABP≌△CBM．
∴AP=CM．

（2）等邊三角形．

（3）△PMC是直角三角形．
∵AP=CM，BP=PM，PA：PB：PC=1：

2

：

3

，
∴CM：PM：PC=1：

2

：

3

．
設CM=k，則PM=

2

k，PC=

3

k，
∴CM²+PM²=PC²
∴△PMC是直角三角形，∠PMC=90°．

點評：本題主要考查了全等三角形的判定，等邊三角形的判定以及直角三角形的判定．通過全等三角形得出線段相等是本題的解題關鍵．