Question

（2013•海淀區一模）如圖，△ABC是等邊三角形，AB=6厘米，點P從點B出發，沿BC以每秒1厘米的速度運動到點C停止；同時點M從點B出發，沿折線BA-AC以每秒3厘米的速度運動到點C停止．如果其中一個點停止運動，則另一個點也停止運動．設點P的運動時間為t秒，P、M兩點之間的距離為y厘米，則表示y與t的函數關系的圖象大致是（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：分類討論：當M點在AB上，作MD⊥BC于D，根據等邊三角形性質得AB=BC=6，∠B=60°，則∠BMD=30°，利用含30度的直角三角形三邊的關系可求出BD=

3

2

t，MD=

3 3

2

t，
則PD=

1

2

t，然后利用勾股定理可得到y=

7

t（0≤t≤2）；當M點在AC上，作MD⊥BC于D，運用相同的方法可得到y=7t²-54t+108（2≤t≤4），利用二次函數的性質得t=-

-54

2×7

=

27

7

時，y有最小值，最后利用解析式對各選項中的圖象進行判斷即可得到答案．

解答：解：當M點在AB上，作MD⊥BC于D，如圖1，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=6，∠B=60°，
∴∠BMD=30°，
∵BM=3t，BP=t，
∴BD=

1

2

BM=

3

2

t，MD=

3

BD=

3 3

2

t，
∴PD=BD-BP=

1

2

t，
在Rt△MPD中，PM²=MD²+PD²，即y²=（

3 3

2

t）²+（

1

2

t）²，
∴y=

7

t（0≤t≤2），
當M點在AC上，作MD⊥BC于D，如圖2，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=6，∠C=60°，
∴∠CMD=30°，
∵BA+AM=3t，BP=t，
∴CM=12-3t，
∴DC=

1

2

MC=

1

2

（12-3t），MD=

3

DC=

3

2

（12-3t），
∴PD=BC-BP-CD=

1

2

t，
在Rt△MPD中，PM²=MD²+PD²，即y²=[

3

2

（12-3t）]²+（

1

2

t）²，
∴y²=7t²-54t+108（2≤t≤4），
∴t=-

-54

2×7

=

27

7

時，y有最小值，
綜上所述當0≤t≤2時，y與t的函數關系的圖象為以原點為端點的線段；當2≤t≤4時，y與t的函數關系的圖象為開口向上的拋物線的一部分，且t=

27

7

時，y有最小值．
故選D．

點評：本題考查了動點問題的函數圖象：利用點運動的幾何性質列出有關的函數關系式，然后根據函數關系式畫出函數圖象，注意自變量的取值范圍；重點考查了通過看圖獲取信息，解決生活中的實際問題．