Question

在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點E，交直線DC于點F。
（1）在圖1中證明CE=CF；
（2）若∠ABC=90°，G是EF的中點（如圖2），直接寫出∠BDG的度數；
（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分別連接DB、DG（如圖3），求∠BDG的度數。

Answer 1

解：（1）如圖1， ∵AF平分∠BAD， ∴∠BAF=∠DAF， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F， ∴∠CEF=∠F， ∴CE=CF；
（2）∠BDG=45°；
（3）分別連結GB、GE、GC（如圖2） ∵AB//DC，∠ABC=120°， ∴∠ECF=∠ABC=120°， ∵FG//CE且FG=CE， ∴四邊形CEGF是平行四邊形， 由（1）得CE=CF， ∴□CEGF是菱形， ∴EG=EC，∠GCF=∠GCE=∠ECF=60°， ∴△ECG是等邊三角形， ∴EG=CG① ∠GEC=∠EGC=60°， ∴∠GEC=∠GCF， ∴∠BEG=∠DCG② 由AD//BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB， ∴AB=BE， 在□ ABCD中，AB=DC ∴BE=DC③ 由①②③得△BEG ≌△DCG， ∴BG=DG，∠1=∠2， ∴∠BGD=∠1+∠3=∠2+∠3=∠EGC=60°， ∴∠BDG=（180°-∠BGD）=60°。