Question

已知：矩形紙片ABCD中，AB=26厘米，BC=18.5厘米，點E在AD上，且AE=6厘米，點P是AB邊上一動點．按如下操作：
步驟一，折疊紙片，使點P與點E重合，展開紙片得折痕MN（如圖1所示）；
步驟二，過點P作PT⊥AB，交MN所在的直線于點Q，連接QE（如圖2所示）
（1）無論點P在AB邊上任何位置，都有PQ______QE（填“＞”、“=”、“＜”號）；
（2）如圖3所示，將紙片ABCD放在直角坐標系中，按上述步驟一、二進行操作：
①當點P在A點時，PT與MN交于點Q₁，Q₁點的坐標是（______，______）；
②當PA=6厘米時，PT與MN交于點Q₂，Q₂點的坐標是（______，______）；
③當PA=12厘米時，在圖3中畫出MN，PT（不要求寫畫法），并求出MN與PT的交點Q₃的坐標；
（3）點P在運動過程，PT與MN形成一系列的交點Q₁，Q₂，Q₃，…觀察、猜想：眾多的交點形成的圖象是什么并直接寫出該圖象的函數表達式．③③

Answer 1

解：（1）PQ=QE．

（2）①（0，3）；②（6，6）．
③畫圖，如圖所示．

解：方法一：設MN與EP交于點F．
在Rt△APE中，∵，
∴．
∵∠Q₃PF+∠EPA=90°，∠AEP+∠EPA=90°，
∴∠Q₃PF=∠AEP．
又∵∠EAP=∠Q₃FP=90°，
∴△Q₃PF∽△PEA．
∴．
∴Q₃P==15．
∴Q₃（12，15）．
方法二：過點E作EG⊥Q₃P，垂足為G，則四邊形APGE是矩形．
∴GP=6，EG=12．
設Q₃G=x，則Q₃E=Q₃P=x+6．
在Rt△Q₃EG中，∵EQ₃²=EG²+Q₃G²
∴x=9．
∴Q₃P=15．
∴Q₃（12，15）．

（3）這些點形成的圖象是一段拋物線．
函數關系式：y=x²+3（0≤x≤26）．

分析：（1）根據折疊的特點可知△NQE≌△NQP，所以PQ=QE．
（2）過點E作EG⊥Q₃P，垂足為G，則四邊形APGE是矩形．設Q₃G=x，則Q₃E=Q₃P=x+6．利用Rt△Q₃EG中的勾股定理可知x=9，Q₃P=15．即Q₃（12，15）．
（3）根據上述的點的軌跡可猜測這些點形成的圖象是一段拋物線，利用待定系數法可解得函數關系式：y=x²+3（0≤x≤26）．
點評：本題是一道幾何與函數綜合題，是07年中考的壓軸題，它以“問題情境--建立模型--解釋、應用與拓展”的模式，通過動點P在AB上的移動構造探究性問題，讓學生在“操作、觀察、猜想、建模、驗證”活動過程中，提高動手能力，培養探究精神，發展創新思維．而試題的三個探究問題表現出對試題的求解要求層次分明，體現了“讓不同的人學不同的數學”這一基本教學理念，第3小題的求解，是對前兩小題的探究與方法的遷移運用，較好地考查了學生的閱讀理解能力、代數計算能力、遷移運用能力和歸納表達能力．試題對提高學生的思維品質和實踐能力均有建樹，具有一定的區分度．若本題加上“驗證其余各點的坐標是否滿足所求拋物線方程”試題將更為豐滿．