Question

已知，直角梯形ABCD中，較短底AB=a，較長底DC=c，垂直于底的腰BC=b，以另一腰AD為直徑作⊙O．
（1）如圖，若⊙O與BC相切于點E，試判斷ax²+bx+c=0根的情況，并證明你的結論；
（2）直接指出⊙O與BC相交，相離時方程ax²+bx+c=0的根的情況．

Answer 1

解：（1）如圖1所示：
設CD與⊙O交于點H，連接AH，
∵AD是直徑，
∴∠AHD=90，
∴AH∥BC，
∴AB=CH，BC=AH，
∵E是切點，
∴OE⊥BC，
∴AB∥OE∥CD，
∴OE=（AB+CD），
在Rt△AHD中，
AD²=AH²+DH²，
即2OE²=BC²+DH²，
即 （a+c）²-（c-a）²=b²，
化簡得：b²=4ac
∴方程的△=b²-4ac=0，所以有兩個相等的實數根，

（2）如圖2，相交時，結合（1）中所求即可得出：
直徑AD＞a+c，b²-4ac＜0，方程無實根．
如圖3，相離時，
即可得出：
直徑AD＜a+c，b²-4ac＞0，．方程有兩個不同的實數根．
分析：（1）連OH，先求半徑為梯形中位線，所以AB=a+c，從A向BC作垂線，構造直角三角形，由勾股定理可得AD²=AH²+DH²，進而得出△=b²-4ac=0，即可得出答案；
（2）由（1）可得出⊙O與BC相交，相離時方程ax²+bx+c=0的根的情況．
點評：此題主要考查了根的判別式以及勾股定理和直線與圓的位置等知識，根據已知構造出直角三角形是解題關鍵．