Question

Rt△ABC中，∠ACB=90°，M為AB中點，將線段BM繞點B順時針旋轉90°，得到線段BP，連CP、AP，CP交AB于點O（如圖①）．
（1）當AC=BC時，求證：△OPB∽△PAB；
（2）若BC=2，AC=b，當b為多長時，△ACB與△ABP相似？
（3）圖①中，將點A沿直線AC向下運動（其余條件不變），則Rt△ABC、△PAB、△PBC都會變化，如圖②所示，如果點A一直運動到BC下方，如圖③所示，請在圖（3）中按題意把圖畫完整，若BC=2，設AC=x，△BCP的面積為y₁，△PAB的面積為y₂，試問y₁、y₂是否都為定值？若是，求出這個定值；若不是，求出其關于x的函數關系式．

Answer 1

解：（1）如圖，連接CM、MP；
由題意知：△ACB是等腰直角三角形，則有：
CM⊥AB，即CM∥BP，且CM=MB=PB；
∴四邊形CBPM是平行四邊形，得MB=PB=2OB，
即：PB：OB=AB：PB=2，又∠OBP=∠PBA=90°，
∴△OBP∽△PBA．

（2）由于AB=2BP，若△ACB與△ABP相似，
則有：①AC=2BC，即b=4；
②BC=2AC，即2=2b，b=1；
所以當b=1或4時，△ACB與△ABP相似．

（3）如圖，過P作PN⊥BC于N；
∵∠PBN=∠BAC=90°-∠ABC，∠PNB=∠ACB=90°，
∴△PNB∽△BCA，得：
AB：BP=BC：PN=2，即BC=2PN，得PN=1；
∴△PBC的面積：y₁=BC•PN=1，是定值；
在Rt△ABC中，AB²=AC²+BC²=4+x²，
∴△PAB的面積：y₂=AB•PB=AB²=（4+x²）=x²+1．
綜上可知：y₁的值是定值且為1，y₂隨x的變化而變化，且關系式為：y₂=x²+1．
分析：（1）欲證所求的三角形相似，就必須先證得PB=2OB；連接CM、PM；由于△ACB是等腰直角三角形，那么CM垂直平分AB，由此可證得四邊形CMPB是平行四邊形，得BM=2OB，即BP=2OB，那么BP：OB=AB：BP，即可證得所求的三角形相似．
（2）此題分兩種情況討論即可：①BC=2AC，②AC=2BC．
（3）首先根據題意畫出圖形，顯然△PAB的面積是變化的，其面積為PB•AB=AB²，只需在Rt△ABC中用勾股定理表示出AB²即可得y₂、x的函數關系式；下面看y₁的變化情況：過P作PN⊥BC于N，易證得△PNB∽△BCA，得BC=2PN，即PN=1，因此△PCB的面積是不變的，即y₁是定值，且y₁=1．
點評：此題主要考查了相似三角形的判定和性質、直角三角形的性質、圖形的旋轉變換、勾股定理以及三角形的面積等知識，難度較大．