Question

如圖，A，B分別為x軸和y軸正半軸上的點，OA，OB的長分別是方程x²-14x+48=0的兩根（OA＞OB），直線BC平分∠ABO交x軸于C點，P為BC上一動點，P點以每秒1個單位的速度從B點開始沿BC方向移動．
（1）設△APB和△OPB的面積分別為S₁，S₂，求S₁：S₂的值；
（2）求直線BC的解析式；
（3）設PA-PO=m，P點的移動時間為t．
①當0＜t≤4時，試求出m的取值范圍；
②當t＞4時，你認為m的取值范圍如何？（只要求寫出結論）

Answer 1

解：（1）x²-14x+48=0，
解得x₁=6，x₂=8，
則OA=8，OB=6 AB=10，
P是角平分線上的點，P到OB，AB的距離相等，
S₁：S₂=AB：OB=5：3；

（2）過C點作CD⊥AB交AB于點D．
∵BC平分∠ABO，
∴CD=OC，BD=OB=6，
設OC=a，則CD=a，AC=8-a，
∵AC²=CD²+AD²，
∴（8-a）²=a²+（10-6）²，
解得a=3，
∴C點坐標為（3，0），
∴設BC的解析式為y=kx+b，得，
∴k=-2，b=6，
∴BC的解析式為y=-2x+6；

（3）①∵，
∴，
當t=4時，設P點到達P₁點的位置（如圖2），作P₁Q⊥x軸于Q，則，
∵P₁C=P₁B-BC=4×1-3=，
∴，
∴CQ=1，
∴OQ=4=OA，
∴P₁O=PA，
∴當t=4時，PA-PO=0，即m=0．
當0＜t≤4時，即P處于B，P₁之間時，
在BA上截取BE=BO，連接PE，則△OPB≌△EPB，
∴PE=PO．
在△PAE中，PA-PE＜AE，而AE=4，
∴PA-PO＜4，即m＜4．
作PR⊥OA于R，則R處于線段OQ上，此時OR＜AR，
∵，，
∴PA＞PO，
∴PA-PO＞0，即m＞0．
綜上所述，當0＜t≤4時，0≤m＜4；
②當t＞4時，m＜0．
分析：（1）先求出OA和OB的長度，P是角平分線上的點，P到OB，AB的距離相等，而兩個三角形的高相等，S₁：S₂=AB：OB=5：3；
（2）過C點作CD⊥AB交AB于點D．得出OD=OC，BD=OB，再設OC=a，則OD=a，AC=8-a，利用勾股定理求出a以及點C的坐標．設BC的解析式y=kx+b，把已知坐標代入得出y=-2x+6；
（3）首先勾股定理求出BC．當t=4時，作P₁Q⊥x軸于Q，利用線段比求得CQ=1，OQ=OA，P₁O=PA．當0＜t≤4時，即P處于B，P₁之間時，在BA上截取BE=BO，連接PE，則△OPB≌△EPB．然后求得PA-PO＜4．作PR⊥OA于R，則R處于線段OQ上，此時OR＜AR．利用勾股定理求出PA，PO的值，可得m＞0，綜合所述可求出0≤m＜4②當t＞4時，m＜0．
點評：本題考查的是一次函數的綜合運用以及利用待定系數法求出函數關系式，難度較大．