Question

如圖（1），已知：正方形OABC，A、C分別在x軸、y軸上，點B在第一象限；將一直角三角板的直角頂點置于點B處，設兩直角邊（足夠長）分別交x軸、y軸于點E、F，連接EF．
（1）判斷CF與AE的大小關系，并說明理由．
（2）已知F（0，6），EF=10，求點B的坐標．
（3）如圖（2），已知正方形OABC的邊長為6，若將三角板的直角頂點移到BC的中點M處，旋轉三角板；當點F在OC邊上時，設CF=x，AE=y，直接寫出y與x的函數關系式及自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據條件可以證明△BFC≌△BEA，由全等三角形的性質就可以得出CF=AE．
（2）利用勾股定理就可以求出OE的值，再建立方程求出正方形的邊長，從而可以求出B的坐標．
（3）分情況討論，當點E在OA上和點E在OA的延長線上時利用三角形的相似就可以求出y于x之間的函數關系式．

解答：解：（1）CF=AE 
∵四邊形OABC是正方形，
∴BA=BC，∠ABC=∠BOC=∠OAB=90°，
∴∠BCF=∠BAE
∵∠FBE=90°，
∴∠FBC=∠EBA．
∴Rt△BFC≌Rt△BEA，
∴CF=AE．

（2）在Rt△OEF中，由勾股定理，得
EF²=OE²+OF²，
∵F（0，6），
∴OF=6，
∵EF=10，
∴100=OE²+36，
∴OE=8．設CF=AE=x，
∴6+x=8-x，
∴x=1，
∴OC=7，
∴OA=7，
∴B（7，7）

（3）當

3

2

≤x≤6時，y=2x-3
當0≤x＜

3

2

時，y=3-2x

點評：本題考查了正方形的性質，點的坐標，函數的解析式及自變量的取值范圍，勾股定理的運用，全等三角形的判定及性質．