Question

（2011•成華區二模）如圖（1），已知正△ABC的面積為1，把它的各邊延長一倍得到正△A₁B₁C₁；再把△A₁B₁C₁的各邊延長一倍得到正△A₂B₂C₂（如（2））；…；如此下去，則正△A_nB_nC_n的面積為

7ⁿ

．

Answer 1

分析：先根據已知條件求出△A₁B₁C₁及△A₂B₂C₂的面積，再根據兩三角形的倍數關系求解即可．

解答：解：△ABC與△A₁BB₁底相等（AB=A₁B），高為1：2（BB1=2BC），故面積比為1：2，
∵△ABC面積為1，
∴S_△A1B1B=2．
同理可得，S_△C1B1C=2，S_△AA1C=2，
∴S_△A1B1C1=S_△C1B1C+S_△AA1C+S_△A1B1B+S_△ABC=2+2+2+1=7；
同理可證S_△A2B2C2=7S_△A1B1C1=49，
∴如此下去，則正△A_nB_nC_n的面積=7ⁿ．
故答案為：7ⁿ．

點評：本題考查的是等邊三角形的性質及三角形的面積，根據題意得出S_△A1B1C1=S_△C1B1C+S_△AA1C+S_△A1B1B+S_△ABC=2+2+2+1=7，S_△A2B2C2=7S_△A1B1C1=49，找出規律是解答此題的關鍵．