Question

如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，，交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，連結EF．

（1）證明：；
（2）若，求CF的長．

Answer 1

（1）證明見解析（2）5

（1）證明：過D作DG⊥BC于G．
由已知可得，四邊形ABGD為正方形． …………１分
∵DE⊥DC，
∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，
∴∠ADE=∠GDC．      ………………………3分
又∵∠A=∠DGC，且AD=GD，
∴△ADE≌△GDC．
∴DE=DC，且AE=GC．     ……………………4分
在△EDF和△CDF中，
∠EDF=∠CDF，DE=DC，DF為公共邊，
∴△EDF≌△CDF．
∴EF=CF． ……………………………………………6分
（2）∵AD=3AE， ∴． ………………………………………7分
設，則，BE=6－2="4."
由勾股定理，得　．
解之，得　， 即．
∴CF = EF=5……………………………10分
（1）過D作DG⊥BC于G，由已知可得四邊形ABGD為正方形，然后利用正方形的性質和已知條件證明△ADE≌△GDC，接著利用全等三角形的性質證明△EDF≌△CDF，
（2）由（1）得，設，利用勾股定理求解