Question

【題目】如圖，在矩形ABCD（AD＞AB）中，P為BC邊上的一點，AP＝AD，過點P作PE⊥PA交CD于E，連接AE并延長交BC的延長線于F．

（1）求證：△APE≌△ADE；

（2）若AB＝3，CP＝1，試求BP，CF的長；

（3）在（2）的條件下，連結PD，若點M為AP上的動點，N為AD延長線上的動點，且PM＝DN，連結MN交PD于G，作MH⊥PD，垂足為H，試問當M、N在移動過程中，線段GH的長度是否發生變化？若變化，請說明理由，若不變，求出GH的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）BP＝4，CF＝4；（3）沒有變化，GH＝．

【解析】

（1）先判斷出∠APE＝∠D＝90°，即可得出結論；

（2）先求出CD＝AB＝3，進而利用勾股定理求出CE＝，DE＝，再△ABP∽△PCE，即可得出BP＝4即可得出結論；

（3）先判斷出MI＝DN，進而判斷出△MGH≌△NGD，最后用勾股定理即可得出結論．

（1）證明：

∵在矩形ABCD中，∠D＝90°，又PE⊥PA，

∴∠APE＝∠D＝90°，

又∵AP＝AD，AE＝AE，

∴△APE≌△ADE

（2）由△APE≌△ADE得DE＝PE

∵AB＝3，

∴CD＝AB＝3

∴在Rt△PCE中，設CE＝x，則PE＝3﹣x，

∴（3﹣x）2＝x2+12，解得x＝

∴CE＝，DE＝

又∵∠B＝∠BCD＝∠APE＝90°

∴∠PEC+∠CPE＝90°，∠APB+∠CPE＝90°

∴∠PEC＝∠APB

∴△ABP∽△PCE

∴，得BP＝4

∴在Rt△ABP中，AP＝AD＝5，

又∵AD∥BC

∴ ，

∴CF＝4

（3）沒有變化H

如圖2，

作MI∥DN交PD于I

∵AD＝AP，MI∥DN

∴∠ADP＝∠APD，∠ADP＝∠MIP

∴∠APD＝∠MIP

∴MI＝PM

又∵MH⊥PD

∴PH＝HI

又∵PM＝DN

∴MI＝DN

∴∠MGI＝∠DGN，∠IMG＝∠DNG，

∴△MGH≌△NGD

∴GI＝GD

∴GH＝GI+IH＝PD

∴在Rt△ABP中，，

∴GH＝．