Question

【題目】閱讀下面材料

小胖同學遇到這樣一個問題：如圖1，△ABC中，點D在BC上，點F是CA延長線上的點，連接DF交AB于G．過點D作DE⊥AC，垂足為E．若∠AGD＝2∠C，DF＝AB，求的值．

小胖通過計算角度發現∠BGD＝2∠CDE，于是作出點C關于DE的對稱點C′，使得∠CDC′＝∠BGD，進而得出∠C′DF＝∠B，接著截取BK＝DC，得出一組全等三角形．

（1）請沿著小胖的思路繼續完成此題的解答過程：

（2）參考小胖的解題方法完成下面問題：

如圖3，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，BD＝2CD，∠BAD＝∠CED，探索AE、CE、CD三條線段的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）；（2）AE＝CE﹣CD．

【解析】

（1）根據SAS可證明△ABK≌△FDC'，得出AK=FC'，∠AKB=∠FC'D，證明CE=C′E，則可求出；

（2）作∠BDF=∠B交AB于F點，延長BC到G點，使得CG=CA，證明△CED∽△FAD，得出比例線段，設CD=x，BD=2x，CE=y，可得出DG=2y，則CG=AC=DG=2y-x，可得出AE=y-x=CE-CD．

（1）∵BK＝CD＝C′D，∠C′DF＝∠B，DF＝AB，

∴△ABK≌△FDC'（SAS），

∴AK＝FC'，∠AKB＝∠FC'D，

∴∠C＝∠AKC，

∴AK＝AC＝FC′，

∵DE⊥CC'，且DC＝DC'，

∴CE＝C′E，

∴AF＝2CE，

∴；

（2）AE＝CE﹣CD．

如圖，作∠BDF＝∠B交AB于F點，延長BC到G點，使得CG＝CA，

∴DF＝FB，

∴∠FDB＝∠B，

∴∠G＝∠CAG＝∠B＝∠FDB，

∴DF∥AG，∠ECD＝2∠B，

∴∠AFD＝∠ECD，∠CED＝∠FAD，

∴△CED∽△FAD，

∴，

設CD＝x，BD＝2x，CE＝y，

∴，

∴，

∴DG＝2y，

∴CG＝AC＝DG﹣CD＝2y﹣x，

∴AE＝AC﹣CE＝y﹣x＝CE﹣CD．