Question

【題目】如圖1，平面直角坐標系中，A(0，8)、B(6，0) .動點P從A點出發，沿y軸負半軸方向運動，速度每秒2個單位長度，動點Q從B點出發，沿BA方向向A點運動，速度每秒1個單位長度.兩點同時出發，Q點到達A點時，兩點同時停止運動，運動時間為t秒.

(1)當△APQ面積為12，求t的值.

(2)當△APQ的外心（三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點）在△APQ的邊上時，求t值.

(3)若Q點在直線AB上運動，過Q點作QH⊥x軸，垂足為H，當△QBH與△ABO的相似比為1：2時，直接寫出Q點坐標.

Answer 1

【答案】（1）5+或5-；(2) 或；（3）（3,4）或（9，-4）

【解析】

（1）作QC⊥OB于點C，根據平行線分線段成比例定理求出OC的長，然后根據三角形的面積公式列方程求解即可；

（2）由△APQ的外心在△APQ的邊上可知△APQ 是直角三角形，分∠APQ=90°和∠AQP=90°兩種情況求解即可；

（3）分點Q在線段AB上和射線AB上兩種情況求解即可.

（1）如圖1，作QC⊥OB于點C，則QC∥OA，

由題意得，AP=2t，BQ=t，AB=，AQ=10-t，

∵QC∥OA，

∴，

∴，

∴OC=，

∴，

解之得t1=5+，t2=5-，

∴t的值是5+或5-；

（2）∵△APQ的外心在△APQ的邊上，

∴△APQ的是直角三角形，

如圖2，當∠APQ=90°時，則PQ∥OB，

∴，

∴，

解之得：t=；

如圖3，當∠AQP=90°時，

∵，

∴，

解之得：t=.

∴t的值是或；

（3）如圖4，當點Q在線段AB上時，

∵QH⊥OB,AO⊥OB,

∴△QBH∽△ABO,

∴,

∴,

∴BH=3,QH=4,

∴OH=6-3=3,

∴Q(3,4);

如圖5，當點Q在射線AB上時，同理可求Q（9，-4）.

∴Q點坐標（3,4）或（9，-4）.